Vous voulez savoir quel est le rôle des bibliothèques à l'heure d'Internet.
Votre question est vaste. Nous ne pourrons donc qu'esquisser des pistes de réponses, et vous renvoyer à la nombreuse littérature sur l'évolution des bibliothèques.
D'autre part, pour illustrer notre réponse, nous utiliserons des exemples français ; la problématique est plus ou moins la même dans les autres pays - même si les moyens mis en oeuvre varient en fonction du niveau de développement.

Précisons d'emblée que si de plus en plus de ressources sont disponibles en ligne, toute l'information n'est pas disponible de manière gratuite, et que tous les citoyens n'ont pas un accès égal à Internet. De plus, une partie de l'activité des bibliothèques demeure inchangée : mise à disposition de documents sur supports traditionnels (par exemple, le numérique n'a pas fait disparaître le livre papier), conservation du patrimoine (par exemple, la Bnf archive Internet), accueil des publics, médiation des connaissances, etc.
Néanmoins, il est vrai que le développement des usages numériques pousse les bibliothèques à faire évoluer leur offre de services et leur organisation, et soulève des interrogations sur leur avenir.

D'autre part, l'impact du numérique n'est pas le même pour les bibliothèques universitaires et les bibliothèques de lecture publique.

Dans le domaine de l'enseignement et de la recherche, les bibliothèques continuent à jouer un rôle important pour acheter des ressources nombreuses et très précieuses. Avec le développement des ressources numériques, l'accès à distance se développe et les efforts des bibliothèques portent de plus en plus sur la gestion des ressources électroniques : signalement, accès à distance, ergonomie, mutualisation des achats dans des consortiums (comme Couperin en France), accompagnement et formation des usagers à l'utilisation des ressources, promotion de l'édition ouverte, appui à la recherche ... En France, ces différentes problématiques font l'objet de projets spécifiques au sein du programme national bibliothèque scientifique numérique (acquisitions, dispositifs d’accès et d’hébergements, signalement, Open Access, numérisation, archivage pérenne, édition scientifique publique, fourniture de documents, formation, compétences et usages, données de la recherche).

Dans le domaine de la lecture publique, les enjeux sont légèrement différents : le développement de l'accès individuel à l'information et à la culture via Internet (par le biais d'offres commerciales attractives ou le piratage) rentre plus directement en concurrence avec l'offre des bibliothèques, qui peinent à mettre en place des dispositifs d'accès aux ressources numériques satisfaisants. Il existe néanmoins des initiatives de prêt numérique en bibliothèque, des réseaux de coopération pour l'acquisition de ressources numériques (en France, on peut mentionner l'association Coopération pour l’Accès aux Ressources Numériques en Bibliothèques). Par ailleurs, les bibliothèques conservent des missions plus traditionnelles de conservation et de diffusion du patrimoine, numérisé et mis en ligne dans des bibliothèques numériques. Le ministère de la Culture français propose une page qui présente sa politique en matière de numérique en bibliothèques.

Enfin, les bibliothèques les plus avancées se préoccupent de l'insertion de leurs catalogues dans le web de données (on peut citer à ce sujet le projet Data BnF).

Pour compléter ces éléments de réponse, vous pouvez consulter une précédente réponse de notre service (de 2011) sur l'avenir des bibliothèques.

Vous pouvez également consulter ces articles de prospective qui présentent deux scénarios opposés sur le devenir ou la disparition des bibliothèques :

• Au loin s’en vont les bibliothèques. Madeleine Géroudet, Colette Gravier, Albane Lejeune, Amandine Pluchet, Amandine Wallon. Bulletin des bibliothèques de France n° 3, 2012
• Les bibliothèques se cachent pour mourir. Madeleine Géroudet, Colette Gravier, Albane Lejeune, Amandine Pluchet, Amandine Wallon. Bulletin des bibliothèques de France n° 3, 2012

Nous vous signalons enfin des manuels récents sur l'évolution des bibliothèques françaises :

• Bibliothèques : les nouveaux modèles. Guide pratique Archimag, 2015. Présentation
• Bibliothèques universitaires : nouveaux horizons.  sous la direction de François Cavalier et Martine Poulain. Editions du Cercle de la Librairie, 2015
• L'avenir des bibliothèques l'exemple des bibliothèques universitaires. sous la direction de Florence Roche et Frédéric Saby. Presses de l'enssib, 2013