Vous souhaitez connaître les différences entre une bibliothèque "classée" et une bibliothèque "spécialisée".

Vous trouverez une définition complète de la bibliothèque municipale classée dans le dictionnaire en ligne de l'Enssib.
Ce qu'il faut retenir : 

Il existe en France "54 bibliothèques municipales classées principalement en raison de l’importance de leurs fonds patrimoniaux (propriété de l’État), ces bibliothèques sont des services municipaux, la seule exception statutaire étant le fait que leur sont mis à disposition (gratuitement) des conservateurs d’État ; elles n’ont pas de mission particulière, autre que celles que leur assignent leurs élus ou leur confèrent la richesse de leurs collections, la compétence de leurs agents ou l’activité de leurs services."
Dans les années 1980, "Le dispositif de mise à disposition de conservateurs d’État connaît une nouvelle définition : ils sont affectés par convention liant la collectivité et le ministère de la Culture et de la Communication. En général, leurs missions concernent les fonds patrimoniaux, leur conservation et leur valorisation, sans que ces missions soient exclusives. Ces conventions sont conclues pour une durée de 3 ans, et sont renouvelables après un bilan contradictoire."

En revanche, il n'existe pas à proprement parler de définition d'une "bibliothèque spécialisée". Tout établissement dont le fonds est dédié à un même champ de la connaissance peut être considéré comme étant une "bibliothèque spécialisée". Il peut s'agir d'une bibliothèque universitaire, municipale, privée, ou encore d'une bibliothèque de recherche.
La politique documentaire de ces établissements est principalement tournée vers le développement de ces collections spécialisées.

Vous trouverez de plus amples informations sur les bibliothèques spécialisées dans la réponse suivante de notre service : Bibliothèques spécialisées : quelles spécificités ?