Vous souhaiteriez connaître la nature exacte de la relation entre un directeur de bibliothèque municipale et l'élu à la culture et le positionnement hiérarchique de l'un par rapport à l'autre.
Par ailleurs, pour mieux les distinguer, vous aimeriez avoir une définition du rôle, des fonctions et des missions du Directeur des affaires culturelles et de l'élu à la culture.

Tout d'abord nous vous invitons à consulter le Vademecum "Se positionner dans sa collectivité" publié par l'ABF (Association des bibliothécaires de France) à destination des personnels de bibliothèque.
Voici quelques extraits qui pourront vous éclairer :

"Le Code du patrimoine précise que les bibliothèques municipales sont gérées par les communes et que les bibliothèques centrales de prêt, instituées par une ordonnance de 1945, sont transférées aux départements et appelées bibliothèques départementales de prêt. Le Code général des collectivités territoriales autorise les communes membres d'un établissement public de coopération intercommunale à lui transférer la gestion de leurs bibliothèques. [...]

Dans les conditions prévues par la loi, [les collectivités territoriales] s’administrent librement par des conseils élus et disposent d’un pouvoir réglementaire pour l’exercice de leurs compétences». Les fonctionnaires et autres agents publics sont donc tenus d'appliquer la politique définie par les élus, tout en pouvant le cas échéant pratiquer l'aide à la décision."

Le site du CNFPT (Centre national de la fonction publique territoriale) donne du directeur des affaires culturelles la définition suivante :

"Auprès des élus, participe à l'élaboration et à la promotion de la politique culturelle de la collectivité. Pilote et évalue les projets culturels. Anime l'ensemble des ressources, des dispositifs et des partenariats en faveur du développement territorial."

Le directeur des affaires culturelles est un fonctionnaire territorial de catégorie A relevant possiblement de divers cadres d'emplois de la fonction publique territorial (administrateurs territoriaux, attachés territoriaux, etc.).

L'élu à la culture est un membre du conseil municipal. Les conseillers municipaux ont, comme le maire, une couleur politique, néanmoins le rôle d'un conseiller municipal est avant tout de représenter tous les citoyens et de répondre aux besoins de la collectivité sans favoriser aucun intérêt particulier.  Le positionnement de l'élu à la culture par rapport au bibliothécaire, ou au directeur des affaires culturelles est celui du décideur.

Pour creuser davantage le sujet, nous vous invitons à consulter deux réponses à une question proche de la vôtre :

• Tutelles des bibliothèques territoriales
• Directeurs de bibliothèques et décideurs