Dans le cadre de la réalisation d'un film institutionnel visant à promouvoir les services numériques de votre bibliothèque, vous souhaitez utiliser des extraits de films tombés dans le domaine public et recensés sur le site archive.org. Vous souhaiteriez savoir s'il faut demander des autorisations et/ou payer des droits.

Voici ce qu'indique Anne-Laure Stérin dans le Guide pratique du droit d'auteur, page 405 :

"Un film (ou une émission télévisée) qui est dans le domaine public peut être utilisé, même intégralement, sans autorisation. Mais ces documents sont rares : un film n'est dans le domaine public que lorsque tous les droits qui le protègent ont expiré : le droit des auteurs (réalisateur, scénariste, dialoguiste, compositeur, adaptateur, auteur adapté), le droit voisin du producteur du film, le droit voisin des interprètes (comédiens), sans oublier le droit des titulaires de droits sur la musique du film.
Ces différents droits n'ont pas les mêmes durées. [...]."

Elle explique un peu plus loin :

"[...] Aux États-Unis, un film / émission est protégé par le copyright pendant 95 ans à compter de sa première diffusion publique sur le territoire américain. Cette durée de 95 ans s'applique aux films/émissions produits et réalisés à l'initiative d'une société (les "work made for hire", comparables à "l'oeuvre collective" en droit français.
Cette durée "américaine" de 95 ans s'applique seulement sur le sol des États-Unis. En France, le film américain sera protégé pendant la durée " française" (pour les auteurs : 70 ans après la mort du dernier d'entre eux ; pour les producteurs et interprètes, 50 ans après la première diffusion américaine).
En effet, la durée américaine ne s'applique en France, que si elle s'avère plus courte que la durée française." (pp.406-407)."

Source : Guide pratique du droit d'auteur. Anne-Laure Stérin, Maxima, 2011.

Nous avons donc constaté, et c'est ce que beaucoup de juristes s'accordent à dire, qu'il existe en réalité encore peu de films tombés dans le domaine public disponibles en France.
Les films disponibles sur archive.org indiqués comme appartenant au domaine public aux États-Unis ne le sont pas forcément en France.
C'est ce que rappelle Lionel Maurel dans un article sur le domaine public et l'audiovisuel :
"Un certain nombre de listes de films circulent sur Internet, qu’il convient de prendre avec la plus  grande précaution, car elles comportent souvent des erreurs. Pour un exemple récent, voir par exemple Raphaëlle ODI.  «20 films cultes tombés dans le domaine public à découvrir ici en intégralité ». Apar.tv, 27 janvier 2017. En ligne : http://www.apar.tv/cinema/20-films-cultes-tombes-dans-le-domaine-public-a-decouvrir-en-integralite-ici/. La plupart des titres qui figurent dans cette liste ne sont pas dans le domaine public. "
Source : Domaine public et licences libres : des opportunités pour développer l’audiovisuel en bibliothèque ? Lionel Maurel. in Du cinéma en bibliothèque. ABF / Images en bibliothèque, 2017, Médiathèmes, pages 3 et 4 [en note de bas de page]

Comme vous le voyez, avant d'utiliser des films théoriquement tombés dans le domaine public, il est nécessaire d'enquêter afin de savoir qui est possiblement titulaire des droits, et de demander le cas échéant des autorisations.
L'agence du patrimoine immatériel propose un guide très pratique pour vous aider dans ce type de démarche, que nous vous conseillons vivement de le consulter ; celui-ci propose notamment une liste d'organismes à contacter pour les recherches concernant les ayants-droit (page 15) :
Droit d'auteur, droit à l'image : les étapes essentielles pour utiliser un contenu. APIE, février 2018.

Pour des conseils juridiques plus poussés, nous vous invitons à interroger le service gratuit d'assistance juridique de l'agence régionale du livre Provence Alpes Côte d'Azur  :
Contact :  Claire Castan
04 42 91 65 26
claire.castan@livre-paca.org

Pour aller plus loin :

• La diffusion en salle de films "tombés" dans le domaine public. Journée co-organisée avec le Groupement National des Cinémas de Recherche (GNCR). Cinémas 93.
• Du cinéma en bibliothèque. Sous la dir. de Dominique Rousselet, Julie Guillaumot, Marianne Palesse. ABF, 2017.

Veuillez noter que cette réponse n'a pas de valeur juridique.