Afin de partager plus largement vos rencontres "Heures du cinéma" proposées à votre public, vous souhaitez les signaler sur les réseaux sociaux. Pour ce faire, vous vous interrogez sur le cadre légal de la diffusion d'extraits de films en dehors de l'enceinte de la bibliothèque.

En dépit de nos recherches, nous n'avons pas trouvé d'information pertinente quant à la durée de l'extrait de films sur les réseaux sociaux.

Par ailleurs, nous attirons votre attention sur l'utilisation d'extraits de films lors d'une animation dans une bibliothèque publique. En effet, le seul cadre légal pour diffuser ces extraits sans autorisation et gratuitement est celui de l'exception pédagogique. Dans celle-ci figure justement la mention de durée pour l'extrait de film.
A ce sujet, notre service a répondu récemment : Droit de présentation d'extraits de films.
Extrait :
"Enfin, si la conférence dans laquelle vous souhaitez présenter des copies d'écran de films ou de jeux vidéos est destinée au grand public, l'exception pédagogique ne s'applique pas.
Anne-Laure Stérin indique dans le Guide pratique du droit d'auteur, p.413 :
"Pour avoir le droit de citer gratuitement un extrait audiovisuel (reportage, émission, film) dans un autre film (ou dans une exposition, un spectacle, un DVD), il faut que la citation d'extrait soit brève, qu'elle soit justifiée "par le caractère critique, polémique, pédagogique, scientifique ou d'information de l'oeuvre" à laquelle est incorporé l'extrait, et il faut indiquer la source de l'extrait (CPI art. L. 122-5 et 211-3).
Dès lors que l'utilisation d'extraits audiovisuels ne répond pas à ces trois critères cumulatifs, les conditions de la citation ne sont pas remplies. L'utilisateur doit alors demander l'accord des personnes détenant des droits sur les extraits, et les rémunérer."
Source : Guide pratique du droit d'auteur. Anne-Laure Stérin. Maxima, 2011."

Dans cette réponse, vous retrouverez, la durée des extraits de films dans le cadre de l'exception pédagogique : 6 mn.

Du reste, d'après le blog "Des Droits, des auteurs" tenu par l'avocate spécialisée dans les questions de propriété intellectuelle et l’édition littéraire, Margerie Véron, il est écrit dans le billet "Bien comprendre l’exception de courte citation" :  "La Cour de cassation considère traditionnellement que le droit de citation ne peut s’exercer qu’en matière littéraire et ne s’applique pas au domaine des œuvres graphiques et plastiques, musicales et audiovisuelles."
Cette information est confortée par le billet de Lionnel Maurel dans son carnet S.I.Lex  : Réutilisation d’extraits vidéo : l’insupportable asymétrie entre la télévision et les créateurs du web (Publié le 17 juillet 2015)
Extrait : "Or cette situation trouve très largement son origine dans le Code de Propriété Intellectuelle. La loi en matière de droit d’auteur a bien prévu une exception pour la citation d’oeuvres protégées, mais la jurisprudence des tribunaux français tend à considérer qu’elle n’est applicable que pour les textes et pas pour les autres types de contenus, comme la musique ou les oeuvres audiovisuelles. Il en résulte que si un critique littéraire peut tout à fait effectuer de courtes citations des romans qu’il commente, un vidéaste ne pourra pas faire de même avec des extraits de films ou d’émissions de télévision."

Voici donc le cadre légal.
A notre sens, et bien que vous ne soyez pas dans le cadre de l'exception pédagogique, comme vous utilisez des DVD acquis auprès des fournisseurs institutionnels pour vos animations, vous pouvez, dans l'enceinte de la bibliothèque, utiliser des extraits.
En revanche, sur les réseaux sociaux, il nous semble fort imprudent de partager vos "Heures du cinéma". En effet, vous "sortez" de l'enceinte de la bibliothèque et vous n'avez pas d'autorisation pour diffuser gratuitement, même des extraits de films, à l'extérieur de votre institution.
Même s'il ne s'agit que d'extraits, vous ne respecteriez pas les conditions d'utilisation de l'Adav :
 "Programmes audiovisuels accessibles pour la "Consultation et le Prêt individuel"
L'extension des droits d'utilisation des programmes accessibles en "consultation" est limitée à la possibilité de visionner un programme, à titre gratuit, dans l'emprise des locaux de l'organisme acquéreur, individuellement ou en groupe, à l'exclusion de toute autre utilisation.
Ces visionnages sont réservés à des groupes restreints, c'est-à-dire aux personnes fréquentant les locaux de l'organisme acquéreur ; par exemple, les élèves d'une école, les usagers d'une bibliothèque...
L'activité doit être totalement gratuite, pas de participation aux frais, directe ou indirecte permettant un accès à ces représentations. L'information doit se faire uniquement dans l'enceinte de l'organisme acquéreur (ni publicité extérieure, ni presse, ni tracts, ni affiche...).
Pour l'ensemble des programmes audiovisuels proposés, il est interdit de reproduire ou de faire reproduire tout ou partie du contenu des supports."

Au terme de ces règles juridiques, la possibilité de visionner sur les réseaux sociaux vos animations  nous semble impossible sans demander au préalable l'autorisation aux ayants-droits qui peuvent, de surcroît , vous demander une rétribution.

Veuillez noter que cette réponse n'a pas de valeur juridique.