Vous souhaitez savoir si une médiathèque est considérée comme un service administratif et s'il existe un texte de loi définissant leur statut.
Nous supposons que votre question porte sur les médiathèques territoriales.

Il n'existe pas de loi sur les bibliothèques.
Toutefois, les bibliothèques sont décrites dans le Code général des collectivités territoriales comme étant des services publics locaux.

Dans un article sur la distinction entre administration et service public, Vie publique indique :

"Le service public apparaît encore aujourd’hui comme une fonction clé de l’Administration, c’est-à-dire de l’ensemble des structures publiques ou privées chargées d’accomplir des activités d’intérêt général.
Cependant, comme le mot administration, l’expression service public revêt plusieurs sens. Elle désigne d’une part, une activité ou une mission d’intérêt général (ex : service public de l’enseignement, du ramassage des ordures) et, d’autre part, l’ensemble des organismes en charge de ces activités d’intérêt général et qui peuvent être aussi bien publics que privés (ex : les sociétés d’autoroutes). On passe ainsi « du » service public « aux » services publics.
La loi définit les missions relevant du service public. Elles ont donc varié avec le temps et se sont étendues aux domaines économique, social et culturel. Ainsi, en 1916, la jurisprudence du Conseil d’État ne qualifiait pas l’exploitation d’un théâtre de service public, puis changeait d’avis en 1944.
Pendant longtemps, le service public était le critère unique conditionnant l’application du droit administratif et la compétence de la justice administrative (théorie de l’« école du service public »). Au cours du XXe siècle, cette condition n’a plus été suffisante avec l’extension des activités de service public au domaine économique et la place plus importante prise par le droit privé.
Ainsi, selon la nature de l’activité et de la structure qui en est chargée, on peut distinguer plusieurs cas de figure :
- les services publics administratifs (SPA) : très divers, regroupant les services qui n’ont pas de but industriel ou commercial (ex : défense, éducation nationale…). Ils sont principalement gérés par des organismes publics et le droit administratif y est prédominant ;
- les services publics industriels et commerciaux (SPIC) : sont apparus à partir de l’arrêt du Tribunal des conflits dit du Bac d’Eloka (1921). Ils peuvent être assurés par des organismes publics ou privés. Lorsqu’il s’agit d’organismes privés, le droit privé s’y applique majoritairement, mais le droit administratif n’en est pas absent. Ainsi, ils restent soumis à la tutelle des pouvoirs publics (État, collectivités territoriales) qui vérifient s’ils mènent à bien leur mission, doivent respecter le principe d’égalité d’accès des usagers au service public et peuvent bénéficier d’une situation de monopole sur l’ensemble ou une partie du territoire national (exception au principe de concurrence du secteur privé)."
Source : Quelle distinction entre administration et service public ? Vie-publique.fr [portail édité par la direction de l'information légale et administrative]

Selon ce qui vient d'être dit, il nous semble que les médiathèques territoriales peuvent être considérées comme des services publics administratifs.