Vous souhaitez savoir s'il existe une durée minimale pendant laquelle un fonctionnaire fraîchement nommé doit rester sur son poste avant de pouvoir demander une mutation.

Le site Service-public.fr indique pour la fonction publique d'État  :

Agents concernés

Seul un fonctionnaire titulaire peut muter.

il est par ailleurs indiqué dans le menu Tableau périodique de mutation :

La mutation est accordée en priorité au fonctionnaire se trouvant dans l'une ou plusieurs des situations suivantes :

• Fonctionnaire séparé, pour des raisons professionnelles, de son époux(se)
• Fonctionnaire séparé, pour des raisons professionnelles, de son partenaire de Pacs s'il apporte la preuve qu'ils sont soumis à l'obligation d'imposition commune sur le revenu,
• Fonctionnaire reconnu handicapé
• Fonctionnaire justifiant d'au moins 5 ans (au moins 7 ans pour un fonctionnaire de police) de services continus dans un quartier urbain sensible
• Fonctionnaire justifiant du centre de ses intérêts matériels et moraux dans une collectivité d'outre-mer ou en Nouvelle-Calédonie
• Fonctionnaire, y compris relevant d'une autre administration, dont l'emploi est supprimé et qui ne peut pas être réaffecté sur un emploi correspondant à son grade dans son service.

[...]

Enfin, l'administration peut aussi définir des critères supplémentaires dans le cadre de ses lignes directrices de gestion. Ces critères doivent être portés à la connaissance des agents. Elle peut notamment accorder une priorité aux fonctionnaires suivants :

• Fonctionnaire ayant exercé ses fonctions pendant une durée minimale dans une zone géographique connaissant des difficultés particulières de recrutement. Dans ce cas, l'administration fixe la ou les zones géographiques concernées et la durée minimale de service exigée pour bénéficier de cette priorité,
• Fonctionnaire étant proche aidant

Dans le cadre de ses lignes directrices de gestion, l'administration fixe les conditions de prise en compte des différents critères de priorité afin de départager les demandes de mutation. Les demandes de mutation sont classées en fonction d'un barème rendu public. Le recours à ce barème constitue une mesure préparatoire et ne remplace pas l'examen de la situation individuelle des fonctionnaires.

L'administration peut aussi fixer des durées minimales et maximales d'occupation de certains emplois notamment pour tenir compte des éléments suivants :

• Difficultés particulières de recrutement
• Impératifs de continuité du service et de maintien des compétences
• Objectifs de diversification des parcours de carrières
• Enjeux de prévention des risques d'usure professionnelle liés aux conditions particulières d'exercice de certaines fonctions
• Enjeux relatifs à la prévention de risques déontologiques

Ces durées minimales et maximales d'affectation peuvent être appliquées dans certaines zones géographiques seulement.

Ces durées minimales et maximales d'affectation et les types d'emplois et les zones géographiques concernés sont fixés par arrêté ministériel. La durée minimale exigée ne peut pas être supérieure à 5 ans. La durée maximale ne peut pas être inférieure à 5 ans. Toutefois, pour les emplois du réseau de l'État à l'étranger, la durée maximale peut être inférieure à 5 ans.

L’administration peut décider de ne pas respecter la durée fixée, dans l'intérêt du service ou, s'agissant de la durée minimale, pour tenir compte de la situation personnelle ou familiale d'un fonctionnaire.

Source : Mutation d'un fonctionnaire. Service-public.fr

Pour résumer, il est possible de demander une mutation dès la titularisation. Toutefois, les demandes sont soumises à l'appréciation du chef d'établissement  qui statue en fonction d'un certain nombre de critères.
Après 5 ans toutefois, la mutation est de droit.
Nous vous invitons donc à vous informer directement auprès de votre service des ressources humaines.