Vous voulez savoir s'il existe des concours et des formations spécifiques aux bibliothèques de musée.

Il n'existe pas de concours (et de formations initiales) spécifiques aux bibliothèques ou centres de documentation en musée - ces deux types de structure, aux frontières non étanches, pouvant se trouver en musée (lire à ce sujet cette réponse récente de notre service).
Ce sont donc les concours de la filière culturelle (bibliothèque ou patrimoine) ou les formations de documentalistes qui peuvent y donner accès.

Pour vous repérer dans les différents concours liés aux bibliothèques, vous pouvez consulter les fiches pratiques de l'Enssib suivantes :

• Préparer les concours des bibliothèques, des archives et de la documentation
• Connaître les concours de la fonction publique pour les bibliothèques
• Se préparer aux concours des bibliothèques

Une précédente réponse de notre service sur les bibliothèques et centres de documentation en musée propose une bibliographie qui vous permettra de creuser la question de ces structures en musée et de mieux en connaître le fonctionnement.
Nous vous recommandons également la lecture d'une précédente réponse sur les missions des bibliothèques de musée.

D'autre part, si votre question sur la formation concerne la formation continue, vous pouvez consulter régulièrement Bibdoc, portail de la formation continue des métiers des bibliothèques et de la documentation. Une recherche avec le mot clé "musée" pourrait faire remonter des formations dédiées.

Enfin, au cas où vous soyez également intéressé par les postes de bibliothécaire en école d’art, nous vous signalons cet article récent :
Les bibliothèques d'écoles d'art et de design. Eymeric Manzinali. Bulletin des bibliothèques de France, 2016