Vous êtes à la recherche d'un emploi en bibliothèque. Vous êtes notamment titulaire d'une licence pro Métiers du livre et vous avez travaillé en bibliothèque en tant que contractuelle sur un poste de catégorie A pendant un an et demi.

Vous voulez savoir si vous pouvez vous présenter comme bibliothécaire dans votre Curriculum Vitae, et si vous pouvez être recrutée à condition de réussir un concours, sous peine de perdre votre poste.

Votre expérience et votre formation justifient selon nous que vous vous présentiez comme bibliothécaire dans votre C.V. Certes, la majorité des postes en bibliothèque sont attribués à des fonctionnaires titulaires, mais des postes sont aussi fréquemment ouverts aux contractuels. De plus, il est généralement recommandé de reprendre dans l'en-tête d'un CV l'intitulé du poste proposé ou dans lequel vous vous projetez :
 

Trouver le bon titre de CV selon sa situation :

(...) votre CV doit coller au maximum à l’offre que vous avez repérée. Comment ? Plusieurs astuces existent pour vous démarquer et taper dans l’œil du recruteur, notamment donner un titre à votre CV. Il est conseillé qu’il reprenne l’intitulé figurant sur l’annonce. (...)
Le titre de votre CV fonctionne comme un résumé de votre projet professionnel et de votre niveau de responsabilités.

Source : Trouver le bon titre de CV selon sa situation. Cadremploi.fr
 

Titre CV : que doit-il contenir ?

Si vous répondez à une annonce, il est conseillé de reprendre le titre figurant sur cette dernière et de le compléter. (...)
Si tous les mots ont de l'importance, ceux qui apparaissent en premier sont particulièrement fondamentaux. Parce qu'en plus de désigner votre titre professionnel, ils précisent dans quel poste vous vous projetez.

Source : L’en-tête, la “signature” de votre CV. L'étudiant.fr

D'autre part, vous ne pouvez pas être recrutée à condition de réussir un concours.

Soit le poste est ouvert uniquement à des fonctionnaires (et dans ce cas, votre candidature sera probablement rejetée), soit il est ouvert aux contractuels.
Dans ce deuxième cas, la durée du recrutement sera probablement limitée. Si vous êtes recrutée en tant que contractuelle, il peut être intéressant de passer des concours, mais votre employeur ne peut pas vous y contraindre.
De plus, en cas de réussite, vous serez probablement affectée dans un autre établissement. En effet, les lauréats des concours territoriaux sont placés sur liste d'aptitude, et doivent obtenir un recrutement par une collectivité :

L'inscription sur une liste d'aptitude ne vaut pas recrutement.

Il appartient à chaque candidat inscrit sur une liste d'aptitude de rechercher un emploi en postulant auprès des collectivités et établissements publics territoriaux.
Le candidat peut rechercher un poste dans toute la France.

Source : Concours de la fonction publique territoriale. Service-public.fr

Ce recrutement post-concours peut s'avérer difficile à obtenir, et en cas de réussite à un concours vous serez sans doute amenée à postuler auprès de divers établissements.
Si par chance l'établissement où vous êtes contractuelle recrute un fonctionnaire (titulaire ou sur liste d'aptitude), vous pourrez certes postuler, mais votre candidature sera en concurrence avec d'autres, et rien ne garantit qu'elle sera retenue :

Un agent contractuel recruté pour faire face à un accroissement temporaire d’activité n’a aucun droit à être titularisé sur son poste en cas de réussite à un concours.

Source : Contractuel : l’admission à un concours ne rime pas toujours avec titularisation. La Gazette des communes, 8 décembre 2020