Vous souhaitez savoir si un fonctionnaire en disponibilité a le droit de se présenter à un concours.
En cas de réussite, vous souhaitez connaître les éventuelles démarches à effectuer, dans le cas d'un concours de la fonction publique d'État ou de la fonction publique territoriale.

Tout d'abord, il convient de préciser que si votre intention était de vous présenter à un concours interne, sachez que c'est impossible. En effet, le site Service-public.fr indique dans la sous-rubrique "Carrière" de la fiche pratique portant sur la situation du fonctionnaire en disponibilité :

"Concours : si vous êtes en disponibilité, vous ne pouvez pas vous présenter aux concours internes de la fonction publique."

Il semble donc possible vous présenter à un concours externe de la fonction publique.

Selon les informations que nous avons pu recueillir, si vous réussissez un concours de la fonction publique d'État et qu'un poste vous est proposé, ou un concours de la fonction publique territoriale et que vous trouvez un poste, vous serez alors mis en position de détachement de votre administration d'origine, pour accomplir votre stage, comme l'indique le portail de la fonction publique, dans la rubrique détachement : 

"Le détachement est la position du fonctionnaire placé hors de son corps d'origine et continuant à bénéficier dans ce corps de ses droits à avancement et retraite.
Le détachement est généralement prononcé par arrêté du ministre sur demande de l'intéressé. Il est de plein droit pour :
- exercer des fonctions de membre du gouvernement ou un mandat de membre de l'Assemblée nationale, du Sénat, du Parlement européen ou pour accomplir un mandat local (dans les cas prévus par le code général des collectivités territoriales).
- exercer un mandat syndical
- accomplir un stage ou une période de scolarité préalable à la titularisation ou,
-suivre un cycle de préparation à un concours."

D'après les informations que nous avons pu recueillir, une réintégration anticipée dans votre administration d'origine est nécessaire avant de procéder à un détachement dans une autre administration : Fiche statut- La fin de la disponibilité. CDG 35.

Nous ne sommes pas compétents pour vous dire si cette procédure est automatique ou si elle requiert une démarche volontaire de votre part.

Nous vous invitons à poser votre question sur le Forum Fonction publique questions/réponses du site emploi-collectivites.fr ou à interroger votre service des ressources humaines.

Pour en savoir plus :

• La mobilité et les parcours professionnels dans la Fonction publique : questions / réponses. Direction générale de l'Administration et de la Fonction publique.
• Guide pratique 6 - le cadre juridique de la mobilité et des parcours professionnels. Ministère de la Fonction publique, 2016.