Vous voulez savoir ce qu'est une bibliothèque de proximité.

Il n'existe pas de définition officielle.

Toutefois, on peut mentionner le programme des "Ruches", petites médiathèques de proximité en milieu rural et dans les quartiers urbains périphériques - programme initié en 2003 et arrêté quelques années après.
Dans une fiche pratique Enssib sur les Ruches (qui n'est plus disponible en ligne), Thomas Chaimbault décrivait ainsi ces bibliothèques :

« La médiathèque de proximité consacre une grande partie de ses espaces publics à des fonctions de médiation, d’échange, d’animation et de formation. Elle établit des liens forts et uniques entre des usagers et des ressources documentaires disponibles sur place ou accessibles depuis des postes informatiques. Ainsi, elle n’est pas simplement le lieu de l’accumulation du savoir, elle est ouverture proposant de multiples entrées, de multiples parcours, de multiples usages prenant en compte la singularité de chacun de ses utilisateurs. Pour répondre encore mieux à cette ambition, elle privilégie dans la perception de ses espaces le pôle d’accueil, de services et de convivialité pour se déployer par la suite autour de ce qui constitue le coeur de son savoir-faire : la constitution de collections documentaires et le prêt. La « Ruche » n’est donc jamais seulement un lieu de prêt et d’emprunt, mais toujours aussi un lieu de séjour et d’échange, entre lecteurs comme entre lecteurs et bibliothécaires. »

Pour en savoir plus, vous pouvez consulter cet article :
Les Ruches. François Rouyer-Gayette. Bulletin des bibliothèques de France, 2004, n° 2

Au delà de ce programme particulier, on peut évoquer la distinction entre bibliothèque centrale et bibliothèque de quartier, qui a fait l'objet d'un mémoire :
Métropoles, réseaux et services de proximité. Jean-Marc Laithier. Mémoire de conservateur. Enssib, 2012

De manière plus générale, toutes les médiathèques aspirent à se rapprocher de leurs usagers.
Exemples de petites bibliothèques représentatives de cette tendance : la Médiathèque-Centre social Yves Coppens de Signy-l'Abbaye et la bibliothèque Louise Michel (Ville de Paris).

Le modèle de la bibliothèque troisième lieu intègre également cette dimension de proximité.
Vous serez peut-être intéressée par la manière dont ce modèle est décrit dans le guide du Service du livre et de la lecture sur la conception des bibliothèques :
Concevoir et construire une bibliothèque : du projet au fonctionnement. Ministère de la Culture et de la Communication. DGMIC - Service du livre et de la lecture. Éditions Le Moniteur, 2016. Présentation

Pour aller plus loin, vous pouvez consulter ce dossier relativement ancien (2004) :
Bibliothèques et proximité. Bulletin des bibliothèques de France, 2004, n° 2